陆沉没有接话。
何巍的观察是准确的,但何巍不知道他为什么一开始就知道。
那不是天赋,是前世的积累。
他已经在另一条时间线上走过了所有的弯路,知道了哪些路不通,哪些路通但绕远,哪些路最直。
他现在的直觉,是用前世无数次撞墙换来的地图。
“我不知道你是怎么做到的。”何巍说,“但你的方法,我学不来。”
他顿了顿。
“就像我的方法,你也学不来。”
陆沉想了想,点头。
“是。”
何巍嘴角动了一下。
那不是笑,是一种被理解的确认。
他把手从裤兜里抽出来,拍了拍陆沉的肩膀。
那只手很瘦,指节突出,拍在肩膀上的力道却很实在。
“走了。明天还要早起。”
他转身往宿舍楼走去,走了几步又停下来,没有回头。
“陆沉。”
“嗯。”
“如果最后进国家队的六个人里没有我——”他停顿了一下,“那六个人里一定要有你。”
然后他继续往前走,背影被路灯的光拉得很长,然后融进宿舍楼门口的阴影里。
陆沉在操场上又站了一会儿。
风从北面吹过来,带着食堂后厨的油烟味和远处供暖锅炉的煤烟味,混合成BJ冬夜特有的气息。
他把何巍那句话在心里又过了一遍——如果最后进国家队的六个人里没有我,那六个人里一定要有你。
何巍说这句话的时候没有悲壮,没有感伤,甚至没有把自己放在一个牺牲者的位置上。
他只是客观地评估了两种可能性,然后给出了他认为对这支队伍最优的配置方案。
就像他在考场上选择从分歧指数定义开始推导分解律一样,他知道代价,他接受了代价,然后继续做他认为对的事。
第二周的专题是组合数学。
讲课的老师换了一位,姓彭,中科院数学所的研究员,四十出头,瘦,戴一副银框眼镜,说话语速极快,快到他的句子和句子之间几乎没有停顿,上一个句号还没来得及在空气里消散下一个句子已经冲出来了。
他在黑板上写字的速度也快,粉笔撞击黑板的声音密集得像机关枪,一堂课下来黑板要擦三四遍。
彭老师讲组合数学的方式和郑老师完全不同。
郑老师是讲一个定理,停下来等人提问。
彭老师是讲一个定理,然后立刻抛出三个变体,再然后让下面的人现场想其中最简单的那个变体怎么证。
想三分钟,然后点人起来回答。
被点到的人如果答不上来,他不会批评,但他会继续点下一个,直到有人答上来为止。
他的课堂上,没有人敢走神。
不是因为怕被点到,是因为他的讲授节奏本身就不给人走神的机会——每一个知识点都直接咬合着下一个知识点,中间没有缝隙。
周三上午,彭老师讲到了拉姆齐理论。
他在黑板上写下了拉姆齐数的定义:R(s,t)是满足以下条件的最小正整数n:任何一个n阶完全图,用红蓝两色对其边任意染色,必然存在一个红色的s阶完全子图,或者一个蓝色的t阶完全子图。
写完之后他转过身。
“R(3,3)等于多少?”
“六。”好几个人同时回答。
这是拉姆齐数里最经典的结论——六个人中必然有三个互相认识或者三个互相不认识。
“证明。”
顾小北举手,站起来用抽屉原理干净利落地证了一遍。
六个人,每个人与其他五人的关系只有两种,抽屉原理保证至少有三条边同色,然后分类讨论。
证毕。
“R(4,4)呢?”
教室里安静了。
R(4,4)等于十八,这是已知的结论,但证明比R(3,3)复杂得多,不是三分钟能想出来的。
彭老师显然也知道这一点,他没有点人回答,而是在黑板上写下了R(4,4)=18,然后说:“R(4,4)的准确值是1970年代才被确定的。在这之前,人们只知道它在某个范围内。确定它的过程用了大量的计算机搜索。”
他在黑板上又写了一个数:R(5,5)。
“这个数,现在还不知道准确值。只知道它在43到48之间。你们在座的任何人,如果有朝一日能把R(5,5)的准确值求出来,就可以直接去国际数学家大会上做报告了。”
教室里响起一阵低低的骚动。
一个未知的、悬赏了几十年的数学问题,被彭老师用这样一种轻描淡写的方式扔在了他们面前。
“当然,这不是让你们现在去做R(5,5)。”
彭老师推了推眼镜,“我举这个例子是想告诉你们:组合数学里最困难的问题,往往表述起来最简单。一个初中生都能听懂的问题,全世界最聪明的数学家花了几十年都解决不了。这就是组合数学的魅力,也是它的残酷。”
他停顿了一下,目光扫过教室。
“接下来我们讲一个和拉姆齐理论相关但方向不同的问题——图兰定理。”
陆沉的手指微微收紧了。
彭老师在黑板上写下了一个公式:ex(n,K?),即n个顶点中不含三角形子图的极大边数。
然后他开始推导图兰定理的经典形式——禁止K_{r+1}子图的极大边数由完全r部图达到,边数为(1-1/r)n2/2加上低阶项。
他讲得很清楚,从极值图论的基本思想出发,逐步构建图兰图的构造,然后证明它的极值性。
讲到一半的时候他忽然停下来,转过身。
“图兰定理的扩展形式,涉及禁止任意给定图H的极值问题,这是极值图论的核心课题。去年,在莫斯科的国际数学奥林匹克上,有一位选手在图兰定理扩展形式上做出了一个非常漂亮的证明。”
他没有看陆沉。
但他的目光扫过教室的时候,至少有十几双眼睛不由自主地转向了陆沉的方向。
彭老师顺着那些目光看过去,然后点了点头。
“看来大家都知道是谁了。”
教室里有人轻轻笑了一声,但笑声很短就收了。
彭老师没有在这个话题上多停留,继续讲他的课。
但陆沉注意到,当彭老师接下来讲到图兰定理证明中一个关键引理的时候,他特意在黑板上写下了两种不同的证明路径。
其中一种,正是陆沉在莫斯科用过的代数拓扑构造。
彭老师没有说这是陆沉的方法。
他只是把两种路径并列写在黑板上,然后说:“第一条路是传统路径,用的是概率方法和极值组合的标准工具。第二条路,是把极值图论问题提升到拓扑层面,利用单纯复形的同调群来刻画极图结构。两条路都能通,但第二条路需要的工具更多,视野也更开阔。”
下课以后,彭老师收拾讲台上的资料。
陆沉经过讲台时,彭老师叫住了他。
“你莫斯科那份证明,我看了叶戈罗夫教授转过来的稿子。”
彭老师把资料装进一个旧的牛皮纸文件袋里,动作不快,像在整理一堆需要小心对待的东西,“里面用同调群刻画极图结构的那一步,你用了谱序列,在那个年纪,会想到用谱序列的人,我没见过第二个。”