彭老师在集训队说过，IMO的代数题从来不会给多余条件，每一个条件都是一级台阶，少踩一级就上不去。
他把三个条件列在草稿纸上：次数n，有限域F_q，求和条件。
然后在这三个条件之间画箭头。
从次数到有限域，箭头上面写着弗罗贝尼乌斯自同构。
从有限域到求和条件，箭头上面写着特征的正指数和。
从求和条件回到次数，箭头上面写着——
他停住了。
箭头画不回去。
求和条件里藏着一个关于n的隐含同余关系，这个关系如果不被激活，整个证明就会在第三步卡住。
他在草稿纸上把求和式展开，项一项地写出来，写满了大半页纸。
写到第十七项的时候，规律浮出来了。
求和式的值在模p意义下与n的某个函数同余。
这就是出题人藏起来的第三级台阶。
他找到了。
证明的主体用了不到四十分钟。
从弗罗贝尼乌斯自同构出发，把多项式的根在扩域中展开，用求和的同余关系反推不可约因子的次数，最后用反证法收口。
写完之后他检查了一遍，确认每一步的条件都用上了——彭老师说过，IMO的代数题，如果你有一个条件没用上，那你一定做错了。
三个条件全部用上了。
他翻到第二题。
第二题，组合几何。
题干只有五行，配了一张图——平面上一个由若干单位正方形拼成的区域，边界是一条闭合的折线，要求在区域内部放置若干个点，满足某种距离约束，并证明放置数量的最大值。
读完题的时候陆沉的嘴角微微动了一下。
不是笑，是一种确认。
这道题的内核和他在BJ集训队黑板上现场构造的那个复合图问题是同一类——表面上是几何距离约束，实质上是一个图的独立数问题。
把几何转化为图，把距离约束转化为边，把放置点的最大值转化为图的独立集大小的下界。
他在莫斯科做过一次，在BJ又做了一次。
现在是第三次。
他在草稿纸上画了一个示意图。
把区域内的所有可能放置点按照网格离散化——这一步出题人已经帮他们做好了，正方形的单位本来就是天然的网格。
然后定义图：顶点是网格点，如果两个点之间的距离违反了题目给定的约束，就在它们之间连一条边。
问题转化为：求这个图的最大独立集。
图的独立数没有通用的精确公式，但可以估计下界。
他用了图兰定理的一个变体——不是经典的禁止完全子图，而是禁止某种特定子图结构的极值问题。
这个变体是他之前在做图兰定理构造性算法时顺手推出来的，没有发表，只是记在了便签本里。
没想到在海德堡用上了。
估计出来的下界恰好等于题目要证的数值。
不是巧合，是出题人按照这个下界反推的题目。
他写完了第二题的证明。
图论转化花了三页纸，图兰变体的引理证明又花了将近两页。
整道题写下来，草稿纸用了五页，答卷纸用了三页。
写完之后他的手指微微发酸。
他把笔放下甩了甩手腕，然后拿起笔继续。
第三题。
数论。
题干是整张试卷里最长的，占据了半页纸。
定义一个关于素数分布的计数函数，给出一组复杂的参数条件，要求证明函数在参数趋于无穷时的渐近行为。
函数定义里嵌套了两个求和号，一个连乘积，还有一个分段函数——分段的条件写得极其隐蔽，藏在求和指标的取值范围里。
陆沉读完第一遍，没有找到那个隐藏的分段条件。
他读第二遍，把求和指标的每一个取值边界都在草稿纸上写出来，一个一个核对。
核对到第三个边界时他发现了——当求和指标取某些特殊值时，连乘积的项数会退化为零，而这一点在题干里完全没有明说，只用了一个“对任意m≥1”的表述轻轻带过。
如果没注意到这个退化，后面的渐近估计会把退化情形当成正常情形处理，主项系数就会多出一个因子，整个证明方向都会偏掉。
他把那个隐藏的分段条件用红笔圈出来，在旁边画了一个大大的感叹号。
彭老师说过，出题人埋陷阱的地方，就是你证明里必须单独处理的分支。
然后他开始搭渐近估计的框架。
计数函数的变量替换，求和次序的交换，主项分离，余项估计。
每一步都不难，但每一步都必须精确。
数论的渐近估计就像搭积木，中间有一块歪了，最后搭出来的房子就一定会塌。
他搭得很慢，每一块都反复确认。
写到余项估计的时候他遇到了一个选择。
余项里有一个和式，可以用两种方式处理：一种是传统的阿贝尔求和，步骤标准但余项边界会松一点；另一种是把和式拆成算术函数的狄利克雷卷积，然后用佩龙公式反演。
第二种方法的余项边界更紧，但推导复杂度高出一大截，而且需要用到复变函数里的围道积分——超出了IMO考纲，但IMO从来不禁止使用高等工具，只要你用得对。
他犹豫了大约五秒钟。
然后选了第二种。
不是因为他想炫技。
是因为第一种方法估计出来的余项边界，在参数趋于无穷时有一个边界情况会溢出，虽然溢出量很小，在大部分评分标准下不会扣分。
但他知道那个溢出在那里。
既然知道，就不能装作不知道。
他开始写佩龙公式的围道积分。
积分路径的选择，极点留数的计算，余项的分段估计。
这部分写了将近四页答卷纸，每一步的合法性都做了说明。
写完之后他把主项和余项合并，得到题目要求的渐近公式，分毫不差。
他放下笔。
四个半小时还剩下十二分钟。
他把三道题的答卷从头到尾检查了一遍。
不是查错，是查每一个可能被扣分的细节——第一题的隐含条件是否在证明里明确激活了，第二题的图转化是否说明了网格离散化不会影响距离约束的严格性，第三题的退化分段是否作为单独的分支处理了。
查完一遍，他又查了第二遍。
第二遍查到一半的时候铃声响了。
考试结束。
陆沉把试卷合上，放在桌角。
监考老师沿着每一排收卷，收到他这里时是一个头发花白的德国老教授，白胡子修剪得很整齐，和开幕式上致辞的主席有几分神似。
老教授拿起陆沉的试卷时扫了一眼答卷纸的厚度——第三题的围道积分写了四页，比其他选手厚出一截。
他的眉毛微微抬了一下，但没有说话，把试卷放进档案袋里，继续往下收。
走出考场的时候，海德堡的太阳已经升到头顶了。
七月的德国中午不算太热，阳光是一种淡淡的金色，落在教学楼的米黄色外墙上，把整栋楼照得像一块巨大的蜂蜜蛋糕。
何巍在教学楼门口的台阶上等他。
他手里拿着草稿纸，眉头皱着，看到陆沉出来，第一句话不是“你考得怎么样”，是——“第三题那个退化分段，你处理了吗？”
“处理了。”
何巍的眉头松开了一瞬，然后又皱起来。
“我处理了，但我的余项估计用的是阿贝尔求和，写到一半发现边界情况会溢出，来不及改了，只能在旁边加了一段文字说明。”
“文字说明也算分。”
“算，但肯定没有直接证出来高，”何巍把草稿纸折起来插进裤兜里，“不过那道题，就算扣我几分我也认了，出得好，一个退化分段藏得那么深，出题人是懂数论的。”
顾小北从考场里走出来，脸色有点白。
她走到台阶上坐下来，两只手撑在膝盖上，深呼吸了三次。
“第二题，图论转化我走了一半，网格离散化之后建图，但图的独立数下界估计我用的是常规的图兰定理，估计出来的界比题目要求的多了一项低阶项，我为了消掉那一项多花了将近一个小时。”
“消掉了吗？”陆沉问。
“消掉了，但第三题的时间不够了，余项估计只写了一半，”她把脸埋进胳膊里，声音闷闷的，“我第三题会做的，那道题我会做的。”
没有人说话。
台阶上安静了一会儿，然后王雪松从考场里走出来了。
他脸上没什么表情，走到台阶旁边站定，从口袋里掏出一颗大白兔奶糖，剥开糖纸塞进嘴里。
嚼了几下之后他说：“第一题，弗罗贝尼乌斯自同构，第二题，图兰变体，第三题，佩龙公式，三道题，三种工具，全在彭老师押的范围内。”