大厅内气氛凝重，十五名优秀选手坐在考场前排，目光炯炯有神。
教授们一字排开，俨然一副要掀翻天的架势。
黄国栋心中暗喜，嘴角勾起一抹自信的微笑。
他环顾四周，心中暗暗想着。
"哼，这些教授肯定会先考我。"
"从头到尾，我的能力可是很优秀的，众人都是看在眼里的。"
“最多，会被周群和林诗雨分走一些关注。”
“但是，自己肯定受到的提问和关注也不会少的。”
然而，只是他的一厢情愿罢了。
清华大学的秦教授突然开口，第一个问题直接问的周群。
"周群同学，请你证明：对于任意正整数n，表达式n^4+4^n永远不可能是完全平方数。"
这道题如同一记重拳，直接击碎了黄国栋的美梦。他不可置信地瞪大眼睛，嘴巴微张，活像一条脱水的鱼。
周围响起一片倒吸凉气的声音。这题目的难度，简直是要人命！
然而，周群却面不改色，眼中闪过一丝兴奋的光芒。他站起身，声音沉稳有力："谢谢秦教授，我有以下思路......"
谢谢秦教授，我的证明思路如下：
首先，我们可以注意到，当n为奇数时，n^4是奇数，4^n是偶数，它们的和必然是奇数，而奇数不可能是完全平方数。所以我们只需考虑n为偶数的情况。
当n为偶数时，我们可以将表达式写成：n^4+4^n=(n^2-2^n)(n^2+2^n)+ 2·4^n
接下来，我们证明(n^2-2^n)(n^2+2^n)和2·4^n的差永远是2。
设 f(n)=(n^2-2^n)(n^2+2^n)+ 2- 2·4^n
我们可以通过数学归纳法证明f(n)= 0对所有偶数n成立。
因此，n^4+4^n可以表示为(n^2-2^n)(n^2+2^n)+ 2。
假设n^4+4^n是完全平方数，那么它减去2应该也是完全平方数。但是，(n^2-2^n)(n^2+2^n)是两个因子的乘积，除非这两个因子相等，否则它不可能是完全平方数。
然而，n^2-2^n< n^2< n^2+2^n，所以这两个因子永远不可能相等。
因此，我们证明了对于任意正整数n，n^4+4^n永远不可能是完全平方数。"
周群的解答如行云流水，逻辑严密，步步为营。教授们听得连连点头，眼中闪烁着惊喜的光芒。
秦教授点了点头，略带点激动的说："精彩！周群同学不仅解决了问题，还用了多种数学工具，展现了深厚的数学功底和敏锐的洞察力。"
另一位教授赞叹道："确实如此。他巧妙运用了奇偶性、代数变换和数学归纳法，思路非常清晰。这种解题水平，已经达到了研究生的层次。"